Условные тавтологии

Чтобы охватить формулы, верные при дополнительных условиях (аксиомах), рассматриваются модели с фиксированной шкалой или набором шкал.

Формула А называется верной в модели M = (W, R, h), если она верна для всех tW. Формула А называется тавтологией относительно шкалы, если она верна для любой модели с данной шкалой. Формула А называется тавтологией относительно класса шкал С, если она является тавтологией относительной каждой шкалы из класса С.

Теорема (о рефлексии). Пусть р – атом. Формула р  р является тавтологией относительно шкалы (W, R), если и только если R – рефлексивное отношение (т.е. wRw для всех w  W).

Доказательство. Пусть R – рефлексивно. Пусть М – модель со шкалой (W, R), tW – произвольный мир и пусть M, t |= р  р. Поскольку модель М – произвольная, то р  р – тавтология относительно шкалы (W, R).

Пусть, наоборот, р  р – тавтология относительно (W, R). Пусть t  W. Докажем, что (t, t)  R. С этой целью определим модель М = (W, R, h), полагая (при фиксированном t)

h(p) = {u  W : (t, u)  R}.

Ясно, что M, t |= р. Но р  р верно, стало быть, M, t |= р. Отсюда t  h(p). Следовательно, (t, t)  R, что и требовалось доказать.