logo
МЛиТА 6 - 7

Пример 6

По заданной формуле ([p] & [q] & [(p  q)] найдём свойство шкал (W, R), относительно которых эта формула является тавтологией. Положим:

А = [p] & [q] & [(p  q)];

(t) = t1t2t3R(t, t1) & R(t1, t2) & p*(t2) & R(t, t3) & q*(t3) & ((p*(t)  q*(t))).

Из условий истинности:

p*(t2) = x(R(t2, x)  p*(x)),

q*(t3) = x(R(t3, x)  q*(x)),

найдём ленивые определения:

p*(x) = R(t2, x); q*(x) = R(t3, x).

Подставляя их в (t) и учитывая, что p*(t2) = 1 и , q*(t3) = 1, получим:

(t) = t1t2t3R(t, t1) & R(t1, t2) & R(t, t3) & (x(R(t, x)  R(t2, x))  R(t3, x)).

Утверждение (W, R) |= t(t) приводит к формуле 1-го порядка:

tt1t2t3(R(t, t1)  R(t1, t2)  R(t, t3)  x(R(t, x)  R(t2, x))  R(t3, x).

Упражнения

Найти свойства шкал Крипке, соответствующих формулам:

  1. А  А (Ответ: u(wRu));

  2. А  А (Ответ: wRu & wRu  vRu);

  3. А  А (Ответ: wRv & wRu  v = u);

  4. А  А (Ответ: wRv  u(wRu & uRv));

  5. А  А (Ответ: wRv & wRx  u(vRu & xRu)).