3. Одномерный дисперсионный анализ

Исходная система определяется элементарным случайным со­бытием с дополнительным указанием его принадлежности к од­ному из r-классов или групп, априори определенных в исходной модели.

Например, измеряется влажность почвы в каждом генетическом горизонте. Элемент — проба с определенной влажностью в априори заданном классе — горизонте. Определяется численность какого-либо вида в каждом типе местообитания. Тип местообитания — ап­риори заданный класс. Целью анализа является проверка гипотезы о принадлежности выборок в каждом классе по их математическим ожиданиям одной общей генеральной совокупности. Анализ стро­ится на основе сопоставления дисперсий выборок, с учетом при­надлежности их к классам, с общей дисперсий всей совокупности измерений. Использование при оценивании только одного парамет­ра (дисперсии) требует, чтобы распределения не сильно отлича­лись от нормальных. Следовательно, перед использованием диспер­сионного анализа требуется обязательная нормализация выборки. Исторически возникновение дисперсионного анализа связано с экспериментами, проводимыми в сельском хозяйстве, по использованию различных доз удобрений. Требовалось доказать существование «отклика» урожая на точно определенную дозу удоб­рений в сравнении с контролем.

Одновариантный дисперсионный анализ широко используется в экологических исследованиях и часто является их завершающим шагом. С другой стороны, он входит составной частью в некоторые важные методы анализа данных. Все это делает целесообразным его достаточно подробное рассмотрение (табл. 1.).

В табл. 1 в каждом классе (i) n_i* элементарных наблюдений со средними и дисперсиями σ_i*²— средняя внутриклассовая выборочная дисперсия.

Средняя дисперсия внутри классов (внутриклассовое, внутригрупповое рассеивание) определяется по формуле

Где — сумма дисперсий каждого класса; n_i* — число степеней свободы; (n - r) — общее число степеней свободы (общий объем выборки минус число классов).

Дисперсию между выборками (межклассовое, межгрупповое рас­сеивание) находят по формуле

где — сумма квадратов разности среднего выборки в i классах и среднего для всей выборки; п_i* — объем выборки в каждом классе; r — число классов.

Тогда формула для определения общей дисперсии для всей вы­борки будет следующей:

Первая сумма в этом выражении, очевидно, есть сумма по всем строкам внутри столбцов и по всем столбцам квадрата отклонения значения любого элемента от среднего по всей выборке, т. е. стандартная формула измерения дисперсии. То, что она действительно равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсии вытекает из того, что дисперсия независимых выборок есть сумма их дисперсий. Выборки же по столбцам и по последней строке перпенди­кулярны друг другу, т. е. независимы.